1. Phase
Der Begriff der Funktion ist den Schülerinnen und Schülern bereits aus früheren Schuljahren bekannt. Dennoch bietet es sich an, anhand einer Folie auf die Entwicklung des Funktionsbegriffs einzugehen. Dabei soll im Vordergrund stehen, dass sich der Funktionsbegriff über viele Jahrhunderte entwickelt und verändert hat.
Wenn das Dialogische Lernen in der Klasse noch unbekannt ist, kann mit folgendem Arbeitsblatt eine Anleitung und Einführung gegeben werden. Dabei ist wichtig, dass es sich um ein Experiment handelt, das die einzelne Schülerin bzw. den einzelnen Schüler herausfordern will, selbstständig über Mathematik nachzudenken.
2. Phase
Die Kurvendiskussion ist mit einer Unmenge an Fachbegriffen verbunden, deren Sinn meist erst im Rückblick verstanden wird. Daher ist die Kernidee der zweiten Phase ein Spiel, bei dem sich die Schülerinnen und Schüler gegenseitig Funktionen „diktieren“, also mit Worten beschreiben. Dabei erfinden sie selbstständig Vokabeln, die Eigenschaften und besondere Punkte von Schaubildern charakterisieren. Die mathematische Sprache entwickelt sich also beim Sprechen als Hilfe, Vereinfachung und Präzisierung. Das Spiel „Funktionen diktieren“ kann in der einfachen Version mit vorgegebenen Beispielen für Schaubilder gespielt werden. Bei genügend Zeit kann man auch die schwierigere Version wählen.
3. Phase
Während des Spiels Funktionen diktieren haben die Schülerinnen und Schüler Fachbegriffe benützt, manche sogar neu erfunden und viel über Funktionen gesprochen. Nun sollen Vokabeln und Eigenschaften gefunden bzw. erfunden werden, die für die anderen in der Klasse hilfreich sind.
Einige besonders schöne und interessante Antworten werden besprochen und als Arbeitsauftrag in die Klasse zurückgegeben.
4. Phase
Nach der ICH-Phase (2. Phase) und der DU-Phase (3. Phase) kommt nun die WIR-Phase. Aus den von den Schülerinnen und Schülern gefundenen bzw. erfundenen Begriffen sollen nun die herausgefiltert werden, die für alle hilfreich sind. Außerdem legt sich die Klasse auf gemeinsame (reguläre) Vokabeln fest.
Im Plenum werden die Antworten gesammelt (Tabelle mit Vokabeln und Skizzen). Dabei entstehen interessante Einblicke ins Denken der Schülerinnen und Schüler: Z.B. wird „Wendepunkt“ völlig anders verwendet als Mathematiker ihn definieren (Die Schüler sehen ihn als Hoch/Tiefpunkt, da dort die Kurve ein Auto „wendet“). „Hochpunkt“ wird als schlechtes Wort angesehen, da es ja andere, noch höhere Punkte gibt. Die mathematische Vokabel „lokales Maximum“ wird als hilfreicher angesehen und soll – nach Wunsch der Klasse – zukünftig verwendet werden.
Die Schülerinnen und Schüler sind nun in der Lage, eine Kurvendiskussion verbal anhand des Schaubilds durchzuführen. Der weitere Unterricht hat „nur“ noch das Ziel, dies auch rechnerisch anhand des Funktionsterms zu können. Daher werden nun systematisch einige Klassen von Funktionen untersucht.
5. Phase
Wir beginnen mit der einfachsten Klasse, die linearen Funktionen. Anschließend werden die Potenzfunktionen untersucht. Kernidee dabei ist: „Es gibt unendlich viele Potenzfunktionen – aber eigentlich gibt es nur 4 wirklich verschiedene Typen“ (Koeffizient positiv/negativ, Exponent gerade/ungerade).
6. Phase
Anhand der neuen Klasse der ganzrationalen Funktionen werden die Eigenschaften Symmetrie und Nullstellen mathematisch sauber definiert. Polynomdivision und Hornerschema als schnelles Werkzeug werden behandelt. Im nächsten Schritt wird untersucht, wie viele Nullstellen ganzrationale Funktionen haben und wie man die Vielfachheit der Nullstellen im Schaubild sieht.
7. Phase
Die erste Kernideen für diese Phase lautet: „Ganzrationale Funktionen verhalten sich weit draußen wie der Summand mit der höchsten Potenz.“ Die zweite Kernidee lautet: „Es gibt unendlich viele ganzrationale Funktionen – aber eigentlich kommt es nur auf das Verhalten weit draußen und die Nullstellen an“. Ist eine ganzrationale Funktion als Linearfaktorzerlegung gegeben, kann man sofort den groben Verlauf angeben. Viele Beispiele folgen, die den Weg vom Term zu Schaubild und umgekehrt verdeutlichen.
8. Phase
Der weitere Unterricht zu den Themen „Gebrochenrationale Funktionen“, „Ableitung“, sowie „trigonometrische Funktionen“ erfolgt ohne besondere dialogische Elemente. Am Ende dieser Phase steht ein Arbeitsauftrag, der als Standortbestimmung dient: „Was wissen wir schon? Was können wir noch nicht?“
9. Phase
Die formale Untersuchung von Funktionen auf „Monotonie“, „Minima und Maxima“ sowie „Wendestellen“ schließt die Unterrichtseinheit ab. Nun sind die Schülerinnen und Schüler in der Lage, nur anhand des Funktionsterms Aussagen über den Verlauf und die charakteristischen Eigenschaften des zugehörigen Schaubildes zu machen.