Praxisbeispiele Mathematik

Die Null – eine Zahl

Der Autor dieses Bausteins ist ein Quereinsteiger im Lehrberuf. Ursprünglich war er Ingenieur und erst seit fünf Jahren Grundschullehrer. Sein Interesse an dem, was die Schülerinnen und Schüler produzieren können, hat ihn aus eigenem Bedürfnis zu einem dialogischen Vorgehen gebracht. Erst seit drei Jahren befasst er sich systematisch mit dem Konzept des Dialogischen Lernens. Der Baustein zeigt somit, dass nicht jahrelange Erfahrung nötig ist, um dialogisch zu unterrichten. Primär reicht es, den Kindern vom ersten Schultag an das Wort zu erteilen und ihre Produkte einzusammeln und zu sichten. Die Gedanken der Kinder anfangs des zweiten Schuljahrs zur Zahl Null decken beinahe alle mathematischen Aspekte dieser Zahl ab, ohne dass sie mit einem Arbeitsblatt gelenkt und gelockt werden müssten. Das leere Blatt und ein geeigneter Auftrag sind die einzigen Mittel, welche die Produktivität der Kinder in Gang setzen.

Der Baustein zeigt außerdem, wie moderne Geräte wie Tablets der Kinder und Smartboard der Lehrperson den Austausch und die Kommunikation im Unterricht erleichtern und trotzdem das handschriftliche Verfassen der Texte nicht zu kurz kommt. Es ist gut zu beobachten, wie innerhalb von nur fünf Wochen Unterricht die Eloquenz und Reichhaltigkeit der Texte zunimmt. Das wöchentliche Ritual des Verfassens und des Austauschs von Kindertexten schafft literale Kompetenz, ohne dass diese explizit trainiert werden müsste.

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Einführung in die komplexen Zahlen – Rechnen mit Zahlenpaaren

Der Baustein zeigt primär, wie eine Einführung in die komplexen Zahlen aussehen kann, bei der man nicht dazu gedrängt wird, ein altes Klischee zu übernehmen: „Mathe ist halt abstrakt, das versteht man sowieso nicht und man muss es einfach so machen, wie es der Lehrer will.“ Der Baustein bietet also eine alternative Vorgehensweise an und stellt sich damit gegen die Tradition, die Zahl i einfach zu definieren mit ihrer merkwürdigen Eigenschaft, dass ihr Quadrat die negative Zahl -1 ergeben soll, nachdem im Mathematikunterricht zuvor immer wieder betont worden war, dass eine Zahl mit sich selbst multipliziert stets etwas Positives ergibt. Den Lernenden bleibt so nichts anderes übrig, als zu glauben, dass diese Definition in Ordnung ist. Durch dieses Vorgehen wird das Autonomiebedürfnis und das Kompetenzerleben der Lernenden untergraben und ein Abhängigkeitsverhältnis zwischen Lehrenden und Lernenden geschaffen.

Der Baustein richtet sich an verschiedene Personen:
• Lehrerinnen und Lehrer, die am Gymnasium oder an der Hochschule die komplexen Zahlen so einführen möchten, dass auch kreative Selbsttätigkeit der Lernenden zum Zug kommt.
• Personen, die in ihrer eigenen Schulzeit von den komplexen Zahlen gehört hatten und ein gewisses Unbehagen des Nichtverstehens mit sich tragen.
• Personen, die nach der obligatorischen Schulzeit ihr Interesse an mathematischen Themen erhalten haben und mitverfolgen möchten, wie man sich aus eigener Kraft Einsicht in eine fremde Zahlenwelt verschaffen kann.
• Lehrkräfte aller Stufen, die einen Einblick in die Grundlagen der vertrauten Zahlen und die sich daraus ergebenden Erweiterungsmöglichkeiten erhalten möchten.
• Schülerinnen und Schüler, die mehr über die komplexen Zahlen erfahren möchten.

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Von der Alltagssprache zur Sprache der Algebra

Auch wenn die Schülerinnen und Schüler des 9. Schuljahrs schon etwas Erfahrung im Umgang mit Variablen (Buchstaben) haben, fehlt ihnen oft die Einsicht in den Zusammenhang zwischen sich verändernden Zahlenmustern und dem zugehörigen algebraischen Term. Sehr behutsam führt Cornelia Ritter die Lernenden mit geeigneten Aufträgen in die Sprache der Algebra ein. Hauptinstrument dabei sind die in der Alltagssprache verfassten Texte der Schülerinnen und Schüler, welche zum Teil recht schwer verständlich sind und einer Übersetzung bedürfen.

Es ist erstaunlich, was die Lernenden gegen das Ende der Sequenz hin bereits aus eigener Kraft leisten können. Mit Leichtigkeit erkennen sie allgemeine Formeln, welche ein bestimmtes Zahlenmuster – wie etwa die Summe der Kubikzahlen – algebraisch beschreiben. Dies alles ist nur möglich, wenn sie genügend Zeit erhalten, das Erfinden, Vermuten und Überprüfen von abstrakten Formeln auf eigenen Wegen und im Vergleich mit Vorschlägen anderer Lernender zu pflegen.

Ohne dass es eine explizite Absicht war, sind in diesem Baustein, der von einer einzigen Klasse handelt, alle Lernenden in den Autographensammlungen berücksichtig worden. Das zeigt, dass nicht nur die Schnellsten und Besten beim Dialogischen Lernen zum Zug kommen.

Der Baustein kann in gewisser Weise als Fortsetzung oder Ergänzung des von Cornelia Ritter verfassten Bausteins Mathematik als Lehre von Mustern gesehen werden, bei dem erst ganz am Schluss auf allgemeine Terme mit Buchstaben eingegangen wird.

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Kernideen und Aufträge zum Prozentrechnen

Das Prozentrechnen ist vermutlich das höchste Thema im Mathematikunterricht, das im Alltag von allen Leuten noch eine Rolle spielt. Insofern ist eine Rechtfertigung für das Behandeln des Prozentrechnens einfach zu geben. Das Thema eignet sich daher bestens dafür, den Kreis der am Dialog beteiligten Menschen auch über die Klasse hinaus zu erweitern, um so nicht nur die Schülerinnen und Schüler, sondern auch Eltern und Bekannte zu erreichen. Wie das möglich ist, zeigt der Baustein.

Viele Mathematiklehrpersonen behandeln das Prozentrechnen eher am Rande und verkennen dabei, dass auch mathematisch ganz grundsätzliche Aspekte darin versteckt sind. Eine eher unbekannte Kernidee des Prozentrechnens heisst: Übergang von der Plus-Denkweise in die Mal-Denkweise. Und diesen Übergang schaffen nicht alle, auch Lehrpersonen nicht immer. Darum täuscht die relative Einfachheit des Themas über die erforderliche, tiefliegende Entwicklungsstufe mathematischen Denkens hinweg.

Der Baustein soll also einerseits das Fachliche erhellen und andererseits zeigen, wie das Ich der Lernenden und ihrer näheren Bezugspersonen nachhaltig erreicht werden kann.

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Vertiefung im Bruchrechnen – Kinder formulieren Regeln

Nachdem bereits ein Baustein „Bruchrechnen“ von Simone Lamb in dieser Reihe vorliegt, soll hier nun eine Vertiefung des Themas mit Schülerinnen und Schülern gezeigt werden, die ein oder zwei Jahre älter sind und nicht mehr lange bei den Grundbegriffen verweilen. Dazu dient hauptsächlich das Schulbuch „Ich-Du-Wir 4 5 6“, das bereits 1999 im Lehrmittelverlag Zürich publiziert worden ist. Patrick Kolb zeigt mit seinen Schülerinnen und Schülern exemplarisch, wie mit diesem Buch gearbeitet werden kann. Startpunkt sind die im Buch vorgeschlagenen Aufträge, aus denen sich dann Jahr für Jahr wieder andere Unterrichtsabläufe ergeben haben. Die bearbeiteten Aufträge sind immer auch zusammen mit den Journaleinträgen der Kinder abgedruckt.

Der entscheidende Punkt des Dialogischen Unterrichts ist, dass Regeln und Theorie erst am Schluss einer Sequenz mit den Schülerinnen und Schülern besprochen und festgelegt werden. So ergibt sich die Gelegenheit, dass die Kinder selbst erste Versuche beim Formulieren von mathematischen Gegenständen wagen dürfen. Gerade das Bruchrechnen ist ein didaktisch gefährliches Pflaster, weil alle Rechenregeln relativ leicht sind und damit auch leicht verordnet werden können. Wenn aber keine Einsicht vorausgeht, dann schädigt ein solches Vorgehen den lernenden Menschen, weil er glaubt, diese Regeln seien einfach von einer Autorität verfügt und man müsse ihnen gehorchen. Autoritätsgläubigkeit ist in der Mathematik aber fehl am Platz.

Ein wunderbares Beispiel für eine von einer Schülerin formulierte Regel kann in seiner ganzen Genese im Baustein mitverfolgt werden. Es geht um die Frage, bei welchen Brüchen denn die zugehörigen Dezimalbrüche nicht unendlich viele Nachkommastellen haben. Im Gegensatz zu den eigentlichen Regeln des Bruchrechnens ist die Antwort dieser Frage doch vielen Leuten unbekannt.

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Dezimalzahlen – Die Stellen nach dem Dezimalpunkt

Der Baustein zeigt deutlich, wie mit recht wenig Aufwand von einem konventionellen auf einen dialogischen Unterrichtsstil umgestellt werden kann. Lehrbuchaufgaben können meist als Grundlage für einen herausfordernden Auftrag verwendet werden und die Kinder sind leicht zu motivieren, mehr als nur Rechnungen aufzuschreiben. In neuen Lehrplänen werden zunehmend Kompetenzen aufgeführt wie Beschreiben, Erklären, Begründen, Argumentieren, also sprachliche Äußerungen, die über das reine Berechnen hinausgehen. Im vorliegenden Baustein kann man gut erkennen, wie Kinder, denen das dialogische Lernen bislang fremd war, ihre ersten Schritte im Beschreiben und Begründen wagen.

Auch Lehrpersonen benötigen keine lange Weiterbildung, um das Dialogische Unterrichten zu erlernen. Es braucht nur den Mut, gewisse oft unausgesprochenen Traditionen des Unterrichtens zu verlassen und den Kindern mehr Autonomie zuzugestehen. Dies bedeutet nicht, dass diese nun alles selber entscheiden und planen müssten, nein, es wird ihnen lediglich zugemutet, dass sie ihre eigenen Gedanken aufschreiben, bevor sie mit einer Theorie oder Regel konfrontiert werden. Deshalb wird die Lehrperson viel mehr zu sichten haben als bisher, was Nicole Masser mit ihren 28 Schülerinnen und Schülern in diesem Baustein anschaulich vorführt.

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Verdoppeln und Halbieren – Erstes Multiplizieren

Gibt man „Verdoppeln und Halbieren“ in einer Internet-Suche ein, so erhält man zahlreiche Arbeitsblätter, bei denen die Kinder nach einem vorgegebenen Muster viele Beispiele von Rechnungen oder auch nur Resultate in vorgesehene Felder eintragen müssen. Es scheint eine heimliche Übereinkunft zu sein, dass man dieses Thema immer in dieser Weise angeht. Nun zeigt Elisabeth Harzl mit ihrem Baustein für das Ende des ersten oder den Anfang des zweiten Schuljahrs, dass es auch ganz anders geht. Ihre Aufträge sind sehr kurz und erlauben es den Kindern, kreativ in freier Gestaltung auf einem weißen Blatt ihre Einfälle und Überlegungen festzuhalten. Und Verdoppeln und Halbieren können am Ende alle.

Es zeigt sich im Verlauf des zweiwöchigen Unterrichts, dass die sachbezogenen Beiträge der Kinder im Wesentlichen den Inhalt der nachfolgenden Lektionen prägen. Einerseits geben sie Anlass für die Besprechung unvorhergesehener Ideen – wie beispielsweise der singuläre Begriff der „genauen Zahlen“ – und andererseits sind sie Ausgangspunkt für Folgeaufträge und abschließende Theorieeinträge im Lernjournal. Wenn Kinder spüren, dass ihre Ideen zählen und einen Wert haben, dann steigt ihre Motivation stark. Mit Arbeitsblättern ist dies sehr viel schwieriger zu erreichen.

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Mathematik als Lehre von Mustern

In diesem Baustein geht es darum, alltägliche Muster mit mathematischem Blick zu betrachten. Im ersten Kapitel werden Punktmuster gedanklich in Teile zerlegt, so dass eine Übersicht über die Gesamtzahl der Punkte gewonnen werden kann. Schon bei diesem Prozess sind die Möglichkeiten der individuellen Gestaltung enorm. Im zweiten Kapitel kommt eine Dynamik ins Spiel: Wie könnte das gegebene Muster nach einer gewissen, selbst erfundenen Regel vergrössert werden? Auch hier sind die produktiven Leistungen der Lernenden von beachtlicher Kreativität gekennzeichnet. Sobald der Übergang in die Beweglichkeit geschafft ist, tritt im dritten Kapitel die Algebra auf, indem eine Variable n als natürliche Zahl die Grösse des Musters beschreibt. Dieser schwierige Übergang erforderte bei einer Algebra-Klasse drei Anläufe und illustriert, wie beim Dialogischen Lernen die Bedürfnisse der Lernenden ernst genommen werden und den Gang des Unterrichts fundamental beeinflussen.

Tatsächlich geht es hier um eine Einführung in die Algebra, die landläufig als Rechnen mit Buchstaben apostrophiert wird. Es steht aber hier nicht die Umformung von Termen mit Buchstaben im Vordergrund, sondern die Absicht, den Lernenden von allem Anfang deutlich zu machen, dass jeder Term mit einem Buchstaben eine konkrete Bedeutung hat und dass Umformungen einen ganz bestimmten Sinn haben, nämlich vergleichbare Ergebnisse von individuell verschiedenen Arbeitswegen zu erhalten. So zeigt dieser Baustein, wie das Thema Algebra schon in der obligatorischen Schulzeit zu einem sinnvollen Instrument gemacht werden kann und nicht zu einem Vorbereitungskurs für nie eintretende spätere Anwendungen verkommt.

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Vom Zweiersystem bis zum QR-Code

In diesem Baustein geht es darum, die natürliche Neugier der Kinder für die mysteriösen Schwarz-Weiß-Muster auf den Produkten des täglichen Lebens, bei Werbungen und Informationstafeln auszunützen, um sie in die Welt des Binären einzuführen. Deshalb wird im ersten Teil genauer auf fremde Zahlsysteme eingegangen und gezeigt, welche Spielmöglichkeiten sich mit ihnen eröffnen. Selbst für Erwachsene ist es oft erhellend, wenn sie der Schreibweise der natürlichen Zahlen im Zehnersystem begegnen als Summe von mit Ziffern gewichteten Zehnerpotenzen.

Im zweiten Teil sind dann die QR-Codes und ihre Dekodierung Thema. Dort braucht es – im Gegensatz zu den üblichen mathematischen Themen der Volksschule – erstaunlich viel Vorinformationen, bevor die Kinder selbst tätig werden können. Glücklicherweise fassen sie diese verwickelten Regeln nicht als Belastung, sondern eher als Regeln für ein Spiel auf, so dass sie in keiner Weise gehemmt an das Dekodieren herangehen. Insofern kann die Beschäftigung mit den QR-Codes auch ein befreiendes Licht auf die strengen Regeln der Mathematik werfen und dort den spielerischen Charakter erkennbar machen.

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Wie man Aufträge herstellt und bearbeiten lässt

Es ist Markus Jetzer ein großes Anliegen, seinen Mathematikunterricht auf die tradierten Instrumente abzustützen und gleichzeitig dialogisch weiterzuentwickeln. Auf diese Weise erreicht er in seinen Weiterbildungskursen auch viele zunächst skeptische Kolleginnen und Kollegen. Dazu haben sich zwei Prinzipien sehr bewährt, welche er auch im vorliegenden Baustein genau darstellt: einerseits der Umgang mit vorhandenen Lehrbüchern und andererseits die Minimalvariante des Dialogischen Lernens.

Die offiziellen Lehrbücher enthalten oft gute Ideen für den Einstieg in ein Thema, zergliedern dieses aber anschließend in viele kleine Aufgaben, welche die Spannung und Neugier erlahmen lassen. Um diese Spannung zu erhalten formuliert Markus Jetzer selbst Aufträge zum Thema, bei denen die Vorerfahrung der Lernenden und ihre Einschätzung des Neuen gefragt sind. Darauf kann er Folgeaufträge aufbauen. Es zeigt sich oft, dass die Lernenden von sich aus auf Fragestellungen kommen, die im Lehrbuch in den detaillierten Aufgaben aufgegriffen werden. Trotz individueller Gestaltung des Einstiegauftrags geben die Lehrbücher die Struktur der Themen vor und werden im Nachhinein – nach der individuellen Auseinandersetzung mit dem Thema – auch von den Lernenden als Referenz geschätzt.

Markus Jetzer stellt zweitens die Minimalvariante des Dialogischen Lernens vor, die sogar völlig fachunabhängig ist und auch für Fächer geeignet ist, denen nur wenige Lektionen pro Woche zur Verfügung stehen.

So zeigt dieser Baustein, wie eine Lehrperson ohne großen Umbau und ohne große Weiterbildungsanstrengungen von einem traditionellen Unterricht mit einem offiziellen Lehrmittel zu einem Dialogischen Unterricht gelangen kann. Fünf Aufträge aus dem siebten, drei aus dem achten und einer aus dem neunten Schuljahr sind mehrfach erprobt und helfen den Lehrpersonen direkt einzusteigen. Schließlich gibt Markus Jetzer noch theoretische Hinweise zur Konstruktion von Aufträgen und zum Beobachten von Dialogischem Unterricht.

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Flächeninhalt und Umfang als schwer fassbare Begriffe

An diesem Baustein haben eine Autorin und drei Autoren aus der Steiermark mitgewirkt. Auf verschiedenen Schulstufen der Volksschule wird die Flächenberechnung thematisiert. Entscheidend ist dabei, dass dieses Thema nicht isoliert angegangen wird, sondern dass möglichst auch das in Konkurrenz stehende geometrische Thema der Umfangsberechnung miteinbezogen wird. Eine Möglichkeit dazu ist der offene Auftrag wie ihn Nico Redolfi in seiner Klasse an den Anfang der Unterrichtssequenz stellt: Zuerst sollen die Kinder nur einmal ihre Gedanken aufschreiben, die ihnen zu Rechnungen an einer Figur einfallen. Von selbst stellen sich so die beiden Themen Flächen- und Umfangsberechnung ein.

Ein zweites Anliegen wird von Christine Fischer ins Zentrum ihrer Aufträge gestellt: Die Kinder sollen sich bei der Flächenberechnung nicht einfach nur auf die Formel „Länge mal Breite“ stürzen, sondern individuelle Vorstellungen der Flächeneinheiten aufbauen. Anschließend folgen zur Umfangsberechnung eine dialogische Unterrichtssequenz, die Timo Riegler kritisch reflektiert, und zur Flächenberechnung eine Sequenz, in der Matthias Kager eine anspruchsvollere Aufgabe stellt. Am Ende befindet ich eine mustergültige Prüfungsaufgabe, mit der das zuvor von Christine Fischer dialogisch bearbeitete Kombinationsthema Flächen- und Umfangsberechnung abgeschlossen wurde.

Auf den meisten Blättern dieses Bausteins sind im unteren Teil Erfahrungen oder Prinzipien des Dialogischen Lernens angeführt, damit die Leserinnen und Leser von der konkreten Situation leichter abstrahieren können. So soll es möglich sein, den eigenen Unterricht unter diesen Gesichtspunkten zu strukturieren.

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Vom Begriff des Bruches bis zu den ersten Rechnungen

In diesem Baustein beschreibt Simone Lamb ihren Unterricht in einer Klasse des vierten Schuljahrs zum Thema Bruchrechnen. Während eines Monats widmete sie sich diesem Thema. Nur die ersten drei von sechzehn Aufträgen hat sie im Voraus vorbereitet. Alle weiteren formulierte sie fortlaufend anhand der Journaleinträge verschiedener Kinder. Beinahe nach jedem Auftrag hat sie für die Klasse eine Autographensammlung zusammengestellt und darin beschrieben, was einzelne Kinder herausgefunden haben. Daraus ergaben sich die Folgeaufträge.

Angeregt durch Fragestellungen der Kinder selbst, konnte Simone Lamb Aufträge formulieren, die sogar über das vom Lehrplan gesetzte Ziel hinaus führten. Reine Übungsphasen sind nicht nötig geworden, da sich die Kinder in jedem Auftrag mit den grundsätzlichen Fragen des Bruchbegriffs und der Bruchrechnung befassen mussten. Sogar Rechenregeln konnten sie in Eigenregie formulieren, so dass die Lehrerin schließlich nur noch eine Zusammenstellung der Erkenntnisse zum Bruchrechnen anfügen musste.

Auf den meisten Blättern dieses Bausteins sind im unteren Teil Prinzipien des Dialogischen Lernens angeführt, damit die Leserinnen und Leser von der konkreten Situation leichter abstrahieren können. So soll es möglich sein, den eigenen Unterricht unter diesen Gesichtspunkten zu strukturieren.

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Fehler sind Perlen beim Lernen

Lehrpersonen werden leider oft darauf reduziert, dass sie nur korrigieren und Fehler rot anstreichen. Ja, man hat sogar schon den Rotstift mit Lehrer identifiziert, als man vor vielen Jahren in der Schweiz das von einigen Lehrpersonen gegründete „Cabaret Rotstift“ auf der Bühne sah. Dass nun Fehler sogar Perlen beim Lernen sein sollen, überrascht auf den ersten Blick. Wer sich aber selbst beobachtet, wenn er eigenständig lernt und sich ein neues Fachgebiet aneignet, der weiß, dass das Richtige immer umgeben ist von vielem Falschem. Und das Falsche muss man gesehen haben, um das Richtige einzuordnen und sicher zu verstehen. Nur vor dem Hintergrund vom Falschen kommt das Richtige erst zur Geltung.

Diese Erfahrung sollte auch in der Schule den Lernenden ermöglicht werden. Der vorliegende Baustein zeigt – nach einer kurzen theoretischen Einführung ins Dialogische Lernen –, wie das geht. Wie kann man Fehler zur Sprache bringen, ohne jemanden bloßzustellen? Wie kann man real geschehene Fehler dazu verwenden, in ganzen Klassen Lerngelegenheiten zu schaffen, bevor die Fehler in Prüfungen negative Auswirkungen haben. Und schließlich: Wie können sogar Fehler, die in Prüfungen aufgetreten sind, nutzbringend für den weiteren Verlauf des Lernens eingesetzt werden?

Zwei Abbildungen aus der PDF-Datei: